Matikkatreeni
Author
Rodion Efemov
License
Creative Commons CC BY 4.0
Abstract
Perusanalyysi.
Perusanalyysi.
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[english]{babel}
\newcommand{\dx}{\,\mathrm{d}x}
\newcommand{\diff}{\mathrm{d}}
\newcommand{\dk}{\,\mathrm{d}k}
\begin{document}
\section*{Tehtävä}
Mitä arvoja integraali $\int_0^1 |x - kx^2| \dx$ voi saada, kun $k \in \mathbb{R}$?
\section*{Ratkaisu}
Oletetaan, että $k \leq 1$. Tuolloin $1 - kx \geq 0$ kun $x \in [0, 1]$, joten
\begin{align*}
\int_0^1 |x - kx^2| \dx &= \int_0^1 |x||1 - kx| \dx \\
&= \int_0^1 x(1 - kx) \dx \\
&= \int_0^1 x - kx^2 \dx \\
&= \Bigg[ \frac{x^2}{2} - \frac{kx^3}{3} \Bigg]_{x = 0}^{x = 1} \\
&= \frac{1}{2} - \frac{k}{3} \\
&\geq \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \\
&= \frac{1}{6}.
\end{align*}
joten kyseessä oleva integraali saa ainakin kaikki arvot välillä $[\frac{1}{6}, \infty)$.
Oletetaan nyt, että $k > 1$. Tällöin suora $y = 1 - kx$ leikkaa $x$-akselin pisteessä $x'$ siten, että $x' \in (0, 1)$. Pisteessä $x = \frac{1}{k}$ yllämainittu suora saavuttaa (ylhäältä) $x$-akselin, ja ``peilautuu'' ylöspäin. Toisin sanoen, välillä $[0, \frac{1}{k})$ suora on $x$-akselin yläpuolella, ja välillä $(\frac{1}{k}, 1]$ sen alapuolella, josta saadaan
\begin{align*}
\int_0^1 |x - kx^2| \dx &= \int_0^{\frac{1}{k}} x |1 - kx| \dx + \int_{\frac{1}{k}}^1 x |1 - kx| \dx \\
&= \int_0^{\frac{1}{k}} x(1 - kx) \dx + \int_{\frac{1}{k}}^1 x(kx - 1) \dx \\
&= \int_0^{\frac{1}{k}} x - kx^2 \dx + \int_{\frac{1}{k}}^1 kx^2 - x \dx \\
&= \Bigg[ \frac{x^2}{2} - \frac{kx^3}{3} \Bigg]_{x = 0}^{x = \frac{1}{k}} +
\Bigg[ \frac{kx^3}{3} - \frac{x^2}{2}\Bigg]_{x = \frac{1}{k}}^1 \\
&= \Bigg( \frac{1}{2}\Big( \frac{1}{k} \Big)^2 - \frac{1}{3} \Big( \frac{1}{k} \Big)^2 \Bigg) + \Bigg( \frac{k}{3} - \frac{1}{2} \Bigg) - \Bigg( \frac{1}{3} \Big( \frac{1}{k} \Big)^2 - \frac{1}{2} \Big( \frac{1}{k} \Big)^2 \Bigg) \\
&= \Big( \frac{1}{k} \Big)^2 - \frac{2}{3}\Big( \frac{1}{k} \Big)^2 + \frac{k}{3} - \frac{1}{2} \\
&= \frac{1}{3} \Big( \frac{1}{k} \Big)^2 + \frac{k}{3} - \frac{1}{2} \\
&= g(k).
\end{align*}
Seuraavaksi täytyy selvitä funktion $g$ minimiarvo. Derivoidaan ensin:
\begin{align*}
\frac{\diff}{\dk} g(k) &= \frac{\diff}{\dk} \Bigg( \frac{1}{3} \Big( \frac{1}{k} \Big)^2 + \frac{k}{3} - \frac{1}{2} \Bigg) \\
&= \frac{\diff}{\dk} \frac{1}{3} k^{-2} + \frac{1}{3} \\
&= -\frac{2}{3} k^{-3} + \frac{1}{3}.
\end{align*}
Koska jatkuvan funktion lokaalit minimit ja maksimit ovat mahdollisia vain niissä pisteissä, joissa funktion derivaatta on nolla, selvitetään $g$:n derivaatan nollakohdat:
\begin{align*}
\frac{\diff}{\dk} g(k) = 0 &\Longleftrightarrow -\frac{2}{3} k^{-3} + \frac{1}{3} = 0\\
&\Longleftrightarrow \frac{2}{3} k^{-3} = \frac{1}{3} \\
&\Longleftrightarrow 2 k^{-3} = 1 \\
&\Longleftrightarrow k^3 = 2 \\
&\Longleftrightarrow k = \sqrt[3]{2}.
\end{align*}
Seuraavaksi on määritettävä derivaatan derivaatta:
\begin{align*}
\frac{\diff}{\dk} \Bigg( -\frac{2}{3}k^{-3} + \frac{1}{3} \Bigg) &= -\frac{2}{3} \frac{\diff}{\dk} k^{-3} \\
&= -\frac{2}{3} (-3)k^{-4} \\
&= 2k^{-4}.
\end{align*}
Koska on oletettu, että $k > 1$, $2k^{-4} > 0$, mistä seuraa, että pisteessä $k = \sqrt[3]{2}$ funktio $g$ saavuttaa minimiarvonsa. Seuraavaksi arvioidaan $g(\sqrt[3]{2})$:
\[
\frac{1}{3} \Big( \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \Big)^2 + \frac{\sqrt[3]{2}}{3} - \frac{1}{2} \approx 0.12996.
\]
Koska $\min(0.12996, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}) = 0.12996$, annettu integraali saa kaikki arvot välillä $[0.12996, \infty)$, kun $k \in \mathbb{R}$.
\end{document}