알바예제
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kimdeoksoo
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Creative Commons CC BY 4.0
Sammanfattning
1509평가원B30
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\raggedright
\title{알바예제}
\begin{document}
\section{문제}
양수 $a$와 두 실수 $b, c$에 대하여 함수
\[ f(x)=(ax^2 +bx +c)e^x \]
은 다음 조건을 만족시킨다
\begin{framed}
\hangindent=20pt
(가) \(f(x)\)는 \(x=- \sqrt{3}\)과 \(x=\sqrt{3}\)에서 극값을 갖는다 \par
\hangindent=20pt
(나) $0 \leq x_1 < x_2$인 임의의 두 실수 $ x_1, \, x_2$에 대하여 $f(x_2) -f(x_1)+x_2 -x_1 \geq 0$
\end{framed}
세 수 $a, \; b, \; c$의 곱 $abc$의 최댓값을 $\frac{k}{e^3}$라 할 때, $60k$의 값을 구하시오. [4점]
\section{정답}
\(15\)
\section{해설}
(가) 에서 \\
$ f'(x)=(ax^2 +(2a+b)x+b+c)e^x =0$\\
의 근이 $-\sqrt{3}, \; \sqrt{3}$이므로 근과 계수와의 관계에 의하여
$- \frac{2a+b}{a} =0, \; \frac{b+c}{a} = -3$\\
$\therefore \; b=-2a, \; c=-a \; $\\
$\therefore \; f'(x) = a(x^2 -3)e^x$\\
(나) 에서 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 -x_1} \geq -1$\\
$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 -x_1} = f'(x)~ (0 \leq x_1 < x < x_2)$을 만족하는 $x$가 존재하므로 ($\because $ 평균값의 정리)
$f'(x) \geq -1 \; (x>0)$\\
$f''(x) = a(x+3)(x-1)e^x$이므로\\
$f'(x)$는 $x=1$에서 최솟값 $f'(1)=-2ae$를 가진다. \\
$-2ae \geq -1, \; a \leq \frac{1}{2e}$\\
$\therefore \; abc=a(-2a)(-a)=2a^3 \leq \frac{1}{4e^3}$\\
$\therefore \; k= \frac{1}{4}, \; 60k=15$\\
(참고) $g(x)=f(x)+x$ 라 하면 조건 (나) 에서 $g(x_2) \geq g(x_1)$이므로 $g(x)$는 증가함수이다. $\therefore \; g'(x) \geq 0, \;$즉 $ f'(x) \geq -1$
\end{document}