Dúvida

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\title{Dúvida}

\author{Proposta 27, Pg 173}

\begin{document}
\maketitle
\setcounter{secnumdepth}{0}


\section{Alínea 1}

Sabemos que o mínimo do domínio de $f$ é $0$.
O enunciado diz-nos que a área por baixo do gráfico da função $f$ é dado pela função $A$. Portanto:
$$A(x) = \int_0^x f(x)dx \Leftrightarrow \int_0^x f(x)dx = \ln{\left(1+\sin^2{\frac{x}{2}}\right)}$$

Derivando ambos os lados,
$$ \frac{d}{dx} \int_0^x f(x)dx = \frac{d}{dx} \left[\ln{\left(1+\sin^2{\frac{x}{2}}\right)}\right] = \frac{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}{1+\sin^2{\frac{x}{2}}} $$


Mas, pelo teorema fundamental do cálculo, o lado esquerdo é simplesmente:
$$ f(x) - f(0) = \frac{d}{dx} \int_0^x f(x)dx$$

Logo, como pela figura se observa claramente que $f(0)=0$, inferimos:

$$f(x) = \frac{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}{1+\sin^2{\frac{x}{2}}} $$\\

Temos agora grande parte do problema resolvido. Agora só precisamos de calcular:

$$ \int_{\pi/3}^\pi f(x)dx = \int_{\pi/3}^\pi \frac{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}{1+\sin^2{\frac{x}{2}}}dx = 
\int_{\pi/3}^\pi
\frac{2\cos{\frac{x}{2}}}{(\sin{\frac{x}{2}})^{-1}+\sin{\frac{x}{2}}}dx  $$\\

Onde no último passo dividimos ambos os termos da fração por $\sin{(x/2)}$, assumindo que $x\neq0$, pois só nos interessa agora o intervalo $[\frac{\pi}{3} , \pi]$.
\\
Definindo então $y:=\sin(x/2)$, concluímos que $dy = \frac{1}{2}\cos{(x/2)} dx \Rightarrow 4\frac{dy}{dx} = 2\cos{(x/2)}$. Assim, substituíndo, obtemos:

$$4\int_{x=\pi/3}^{x=\pi} \frac{1}{y^{-1}+y} dy = 4\int_{x=\pi/3}^{x=\pi} \frac{y}{1+y^2} dy $$
\\
Onde, no último passo, multiplicamos ambos os termos da fração por y, novamente assumindo $y\neq0 \Leftrightarrow x\neq0$. \\ \\ Consequentemente, este integral é fácil de avaliar:

$$4\int_{x=\pi/3}^{x=\pi} \frac{y}{1+y^2} dy = \frac{4}{2}\int_{x=\pi/3}^{x=\pi} \frac{2y}{1+y^2} dy $$
O integrando é claramente $\frac{d}{dy}\ln(y^2+1)$, logo, temos simplesmente:

$$ 2\left[\ln(y^2 + 1) \right]_{x=\frac{\pi}{3}}^{x=\pi} = 2 \left[\ln\left(\sin^2{\frac{\pi}{2} +1}\right) -\ln\left(\sin^2{\frac{\pi}{6} + 1}\right) \right] =$$\\
$$ =2 \left[ \ln(2) - \ln(5/4) \right] = 2\ln\left(\frac{8}{5}\right)$$.

O meu problema é este fator de 2. O passo que eu acho mais "duvidoso" e que possivelmente poderá não estar certo é o passo da mudança de variável, mas mesmo assim acho que fiz tudo corretamente...

\end{document}