\documentclass[11pt,oneside]{amsart}
%Otra forma de modificar m\'argenes mas eficientemente creo
%\usepackage{geometry}
%\geometry{
%a4paper,
%total={160mm,230mm},
%left=20mm,
%top=40mm
%}
\usepackage[bottom=2.75cm,top=2.75cm]{geometry}
%Para modificar espacio interlineado
\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
% distintos paquetes: simbolos, fuentes, colores y otras herramientas
\usepackage{amssymb,latexsym,amsmath,amsthm}
%\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage{amsfonts,rawfonts}
%\usepackage{rawfonts}
\usepackage{thmtools}
\usepackage{fontawesome}%Para poner emojis sencillos
% Paquetes para insertar imagenes, animaciones, hacer graficos y para usar colores
\usepackage[usenames,dvipsnames]{color}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{tikz}
\usepackage{graphicx}
%\usepackage{pstricks-add}
%Para crear hipervinculos en nuestro texto
\usepackage[colorlinks,linkcolor=blue,urlcolor=cyan]{hyperref}
%Renombramos el entorno ''abstract'' y el ''caption name'' de las figuras
\renewcommand{\abstractname}{{\bf Resumen y objetivos}}
\renewcommand{\proofname}{Demostraci\'on}
%Una forma mas bonita para el conjunto vacio
\let\emptyset\varnothing
\newtheorem*{teorema}{Teorema}
\newtheorem*{corolario}{Corolario}
%Titulo, autor y fecha
\title{Si $AB=I$ entonces $A$ es invertible y $A^{-1}=B$}
\author{{\footnotesize Memo Garro}}
\date{}
%Empezamos nuestro escrito
\begin{document}
\maketitle
%Ponemos un peque\~no resumen
\begin{abstract}
Vamos a demostrar el notable teorema que dice que, dadas dos matrices cuadradras $A$ y $B$ del mismo tama\~no, si $AB=I$, donde $I$ es la matriz identidad del mismo tama\~no que la matrices $A$ y $B$, entonces $A$ es invertible y $B^{-1}=A$. La prueba ser\'a directa y s\'olo usaremos el hecho de que si $|A|\ne0$ entonces $A$ es invertible. La pregunta es si puedes t\'u, estimado estudiante, ofrecer otra prueba de la que aqu\'i se sugiere. Sirva adem\'as este texto como un ejemplo de escritura con \LaTeX.
\end{abstract}
\begin{teorema}
Sean $A=(a_{ij})_{n\times n}$ y $B=(b_{ij})_{n\times n}$ matrices cuadradas de tama\~no $n$ y sea $I_n$ la matriz identidad de tama\~no $n$. Si $AB=I_n$ entonces $A$ es invertible y $A^{-1}=B$.
\end{teorema}
\begin{proof}
Vamos a hacer los casos $n=1$ y $n=2$. El caso general se deja al estudiante.
$n=1$. En este caso podemos escribir simplemente
\[
A=(a),\qquad B=(b)\qquad\text{ e }\qquad I_1=(1).
\]
Por lo que
\[
AB=I_1\Leftrightarrow ab=1\Leftrightarrow ba=1\Leftrightarrow BA=I_1.
\]
Y el teorema es inmediato.
$n=2$. En este caso, tenemos las matrices
\[
A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix},
\quad
B=
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12}\\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}\quad\text{ e }\quad
I_2=
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]
Luego, la igualdad
\[
AB=
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\
a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]
implica que al menos uno de los coeficientes del segundo rengl\'on de $A$, $a_{21}$ y $a_{22}$, es distinto de cero.
\noindent
Supongamos que $a_{22}\ne0$. De la igualdad
\[
a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}=0
\]
depejamos $b_{21}$ para obtener
\[
b_{21}=-\frac{a_{21}}{a_{22}}b_{11}.
\]
Sustituimos en la igualdad
\[
a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}=1,
\]
para obtener
\[
(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})\frac{b_{11}}{a_{22}}=1.
\]
Esto implica que
\[
|A|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\ne0.
\]
Por lo que $A$ es invertible.
\noindent
Ahora, por hip\'otesis $AB=I_2$. En consecuencia,
\[
B=I_2B=(A^{-1}A)B=A^{-1}(AB)=A^{-1}I_2=A^{-1}.
\]
\noindent
El caso $a_{21}\ne0$ se trata de forma an\'aloga por lo que se deja al estudiante.
\end{proof}
\begin{corolario}
Si $A$ y $B$ son matrices cuadradas del mismo tama\~no y $A$ no es in\-ver\-ti\-ble, entonces $AB$ no es invertible
\end{corolario}
\begin{proof}
Supongamos que $AB$ es invertible. Para alguna matriz $C$, se cumple
\[
(AB)C=I,
\]
donde $I$ es la matriz identidad del igual tama\~no que las matrices $A$ y $B$. Pero el producto de matrices es asociativo, de manera que $A(BC)=(AB)C$. Por lo que $A(BC)=I$. Pero, por el teorema anterior, esto implica que $A$ es invertible. Una contradicci\'on.
\end{proof}
\begin{corolario}
Sean $A$ y $B$ matrices cuadradas de igual tama\~no. Entonces $AB=I$ si y s\'olo si $BA=I$. Donde $I$ es la matriz identidad de igual tama\~no que las matrices $A$ y $B$.
\end{corolario}
\begin{proof}
Si $AB =I$ entonces $A$ es invertrible y $A^{-1}=B$, por lo que $BA=I$.
Rec\'iprocamente, si $BA=I$ entonces $A^{\text{T}}B^{\text{T}}=I$, por lo que $A^{\text{T}}$ es invertible y $$B^{\text{T}}=\left(A^{\text{T}}\right)^{-1}.$$ Pero recordemos que $A^{\text{T}}$ es invertible si y s\'olo si $A$ es invertible, y en cuyo caso $$\left(A^{\text{T}}\right)^{-1}=(A^{-1})^{\text{T}}.$$ En consecuencia $B=A^{-1}$ y $AB=I$.
\end{proof}
\end{document}
