Experimentalphysik 6: Festkörperphysik
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{E6: Festkörperphysik}
\rhead{Übungsblatt 11}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{30}
\item \textbf{Wärmeausdehnungskoeffizient (Nur Beschreibungen)}\\
Festkörpermaterialien zeigen in aller Regel einen positiven thermischen Ausdehnungskoeffizienten, z.B. Längenausdehnung $\alpha=\frac{1}{L}\qty(\frac{\Delta L}{\Delta T})$. Mit zuhnemender Temperatur nimmt die Schwingungsenergie der Atome im Festkörper zu und der Gleichgewichtsabstand erhöht sich.
\begin{enumerate}
\item Gibt es auch Materialien mit negativem Ausdehnungskoeffizienten?\\
\\
\begin{tabular}{l p{10cm}}
\multicolumn{2}{l}{\ce{Wasser -> Eis}}\\
T = \SI{3.98}{\celsius}: & geringstes Volumen und größte Dichte\\
\ce{T v}: & Übergang in Kristallstruktur, Wasserstoffbrückenbindungen benötigen mehr Volumen\\
\end{tabular}
\item \label{31b} Wenn ja, wie funktionieren diese?\\
\\
\begin{tabular}{l l}
Kristall (kristallin): & negative Ausdehnung\\
Glas (amorph): & positive Ausdehnung\\
\end{tabular}
\item Kann man Materialien mit verschwindendem Ausdehnungskoeffizienten entwickeln?\\
\\
$\stackrel{\ref{31b}}{\Rightarrow}$ Glaskeramik
\end{enumerate}
\item \textbf{Wärmeleitfähigkeit von Graphit}\\
Zwischen ungefähr $\SI{2}{\kelvin}$ und $\SI{20}{\kelvin}$ zeigt Graphit in erster Näherung eine quadratische Temperaturabhängigkeit der thermischen Leifähigkeit. Erklären Sie dies mit dem Debye-Modell. Die innere Energie ist gegeben durch:
\begin{align*}
E &= \int_0^{\omega_D}\frac{\hbar\omega^2}{e^{\hbar\omega/k_BT}-1}\dd{\omega}
\end{align*}
\textit{Hinweis:} $\int_0^{\infty}\frac{x^3e^x}{\qty(e^x-1)^2}\dd{x}=const$\\
\\
Wärmeleitkapazität $k$:
\begin{align*}
k &= \frac{1}{3}\;\rho\cdot c_V\cdot v_{\mathrm{Schall}} \cdot \underbrace{\Lambda}_{\text{mittlere freie Weglänge}}\\
\Theta_D &= \frac{\hbar\omega_D}{k_B}\\
C_V &= \qty(\pdv{E}{T})_V = \int_0^{\omega_D}\frac{e^{\hbar\omega/k_BT}}{\qty(e^{\hbar\omega/k_BT}-1)^2}\frac{\hbar\omega^3}{T}\\
&= k_B\qty(\frac{k_BT}{\hbar})^2\underbrace{\int_0^{\Theta_D/T}\frac{x^3e^x}{\qty(e^x-1)^2}\dd{x}}_{const\text{ in T für $T\ll\Theta_D$}} \qq{mit $x=\frac{\hbar\omega}{k_BT}$}
\end{align*}
\item \textbf{Spezifische Wärme}\\
Im Debye-Modell erhält man für die spezifische Wärme pro Mol:
\begin{align*}
C_V &= \qty(\pdv{U}{T})_V =\frac{9N_a\cdot k_B}{\omega^3_D}\int_0^{\omega_D}\frac{\qty(\hbar\omega/k_BT)^2e^{\hbar\omega/k_BT}}{\qty(e^{\hbar\omega/k_BT}-1)^2}\omega^2\dd{\omega}
\end{align*}
(Avogadrokonstante $N_A$, Boltzmannkonstante $k_B$ sowie Debyesche Grenzfrequenz $\omega_D$). Für die eingeführte Debye-Temperatur $\Theta$ gilt $k_B\cdot\Theta_D=\hbar\omega_D$. Berechnen Sie das Integral und bestimmen Sie $C_V(T)$,
\begin{enumerate}
\item für $T\gg \Theta_D$\\
\textit{Hinweis:} Entwickeln Sie die Exponentialfunktionen mit Hilfe von $\omega < \omega_D$
\begin{align*}
e^{\hbar\omega/k_BT} &\approx 1+\frac{\hbar\omega}{k_BT}\\
\stackrel{T\gg\Theta_D}{\Rightarrow}e^{\hbar\omega/k_BT}&\approx 1\\
\Rightarrow C_V &= \qty(\pdv{U}{T})_V =\frac{9N_ak_B}{\omega^3_D}\int_0^{\omega_D}\frac{\qty(\hbar\omega/k_BT)^2\cdot 1}{\qty(1+\frac{\hbar\omega}{k_BT}-1)^2}\omega^2\dd{\omega}\\
&= \frac{9N_ak_B}{\omega^3_D}\int_0^{\omega_D}\omega^2\dd{\omega}=3N_ak_B
\end{align*}
\item für $T \ll \Theta_D$\\
\textit{Hinweis:} Für $\omega > \omega_D$ wird die Besetzungswahrscheinlichkeit für Phononen verschwindend klein und die Integration kann ohne große Fehler bis $+\infty$ ausgedehnt werden. Verwenden Sie die Substitution $x=\frac{\hbar\omega}{k_BT}$ sowei das tabellierte Integral $\int_0^{\infty}\frac{\ln^4y}{\qty(y-1)^2}\dd{y}=\frac{4}{15}\pi^4$
\begin{align*}
x &= \frac{\hbar\omega}{k_BT} \Leftrightarrow \omega = \frac{k_BT}{\hbar}x\\
\Rightarrow \dd{\omega} &= \frac{k_BT}{\hbar}\dd{x}\\
\Rightarrow C_V &= \frac{9N_ak_B}{\omega^3_D}\int_0^{\infty}\frac{x^2e^x}{\qty(e^x-1)^2}\qty(\frac{k_BT}{\hbar}x)^2\cdot \frac{k_BT}{\hbar}\dd{x}\\
&= \frac{9N_ak_B}{\omega^3_D}\int_0^{\infty}\frac{x^4e^x}{\qty(e^x-1)^2}\qty(\frac{k_BT}{\hbar})^3\dd{x}\\
y &\coloneqq e^x \Leftrightarrow x = \ln{y}\\
\Rightarrow \dd{x} &= \frac{1}{y}\dd{y}\\
\Rightarrow C_V &= \frac{9N_ak_B}{\omega^3_D}\qty(\frac{k_BT}{\hbar})^3\underbrace{\int_0^{\infty}\frac{\qty(\ln y)^4\cdot y}{\qty(y-1)^2}\frac{1}{y}\dd{x}}_{=\frac{4}{15}\pi^4}\\
&= \frac{12}{5}\pi^4N_ak_B\qty(\frac{T}{\Theta_D})^3
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}