\begin
Discover why over 20 million people worldwide trust Overleaf with their work.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Compiler à l'aide de XeLaTeX %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{tikz}
\usepackage{fouriernc}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{polyglossia}
\setdefaultlanguage[numerals=maghrib]{arabic} % or equivalently \setmainlanguage, option: calendar=gregorian, numerals=maghrib
\setotherlanguage{french}
\newfontfamily\arabicfont[Script=Arabic]{Amiri} % option: ,Scale=1.2
% Amiri, Arabic Typesetting, Microsoft Uighur, Traditional Arabic, Simplified Arabic, Sakkal Majalla,
% Tahoma, Segoe UI, Andalus, Arial Unicode MS Arial, Microsoft Sans Serif
\title{ستة تعاريف للدالة الأسية للأساس $e$}
\author{نورالدين رفيق}
%\date{}
\begin{document}
\maketitle
يمكن تعريف الدالة الأسية للأساس $e\approx2,71828$ بعدة طرق متكافئة. أبسط طريقة لتعريفها هي القول أنها الدالة العكسية لدالة اللوغاريتم النبيري، حيث إن هذه الأخيرة تشكل تقابلا من $]0,+\infty[$ الى $\mathbb{R}$ بوصفها متصلة ومتزايدة قطعا على مجال تعريفها. نرمز للدالة الأسية بـ $\exp(x)$ أو $e^x$.
\vspace{0.3cm}
\begin{wrapfigure}{l}{8.5cm}
\begin{tikzpicture}
\draw [PapayaWhip,step=0.1] (-5.5,-0.5) grid (2.5,4.5);
\draw [Orange] (-5.5,-0.5) grid (2.5,4.5);
\draw [->,>=latex,gray] (-5.5,0)--(2.5,0) node[below] {$x$};
\draw [->,>=latex,gray] (0,-0.5)--(0,4.5) node[below left] {$y$};
\draw [dashed] (0,e) node[left]{$e$} -| (1,0) node[below] {$1$};
\draw [domain=-5.2:1.45,samples=200,very thick,magenta] plot(\x,{exp(\x)}) node[right]{$\exp(x)$};
\draw [<->,>=stealth](-0.5,0.5)--(0.5,1.5);
\end{tikzpicture}
\caption{التمثيل المبياني على ورق ميليمتري}
\end{wrapfigure}
الدالة الأسية هي الدالة الوحيدة القابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ التي تحل مسألة كوشي، أي أنها تحقق الشرطين :
\[ f(0)=1 \text{ و } f'=f \]
وجود هذه الدالة و وحدانيتها مكفول بالمبرهنة التي تعرف عند الفرنسيين بمبرهنة
\textfrench{Cauchy-Lipschitz}
و عند الإنجليز بمبرهنة
\textfrench{Picard-Lindelöf}.
الدالة الأسية هي الدالة الوحيدة المتصلة على $\mathbb{R}$ التي تحول المجموع إلى جداء، أي أنها تحقق المعادلة الدالية :
\[ \forall x, y\in\mathbb{R}, \quad f(x+y)=f(x)\cdot f(y) \]
و التي تأخذ القيمة $e$ في 1.
فهي إذا تشاكل (=تطبيق يحافظ على الشكل Morphisme ) من الزمرة $(\mathcal{R},+)$ نحو الزمرة $(\mathcal{R},\cdotp)$. بهذا ا
لتعريف نحدد $\exp(x)$ على الأعداد الصحيحة الطبيعية ثم على الجذرية، ثم نستثمر اتصالها لتحديدها على الأعداد الغير جذرية. و نبرهن من خلال هذا التعريف أنها موجبة قطعا و أنها ليست متصلة فحسب، بل قابلة للإشتقاق ومشتقتها ليست إلا إياها.
\newline
يمكن تعريف الدالة الأسية بمتسلسلة القوى (بالفرنسية
\textfrench{Série entière}
و بالإنجليزية
\textfrench{Power series})
ذات قطر تقارب لا منتهي :
\[ \exp(x) \stackrel{\text{déf}}{=} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots\]
أقل شيوعا، يمكن تعريفها كحل للمعادلة التالية :
\[ x=\int_{1}^{f(x)}\frac{dt}{t} \]
أو باستعمال نهاية متتالية الدوال :
\[ \exp(x) \stackrel{\text{déf}}{=} \lim_{n\rightarrow\infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right) ^n \]
و هي موجبة قطعا و متصلة لأنها لامتناهية الاkjgشتقاق، أي أنها تنتمي الى الفئة $\mathcal{C}^\infty$، و لها استخدامات واسعة في الفيزياء والكيمياء والهندسة الكهربائية والهندسة الميكانيكية والإحصاء وغيرها من العلوم.
\vspace{3cm}
\begin{french}
La bijection réciproque de $\ln : ]0,+\infty[ \rightarrow \: \mathbb{R}$ s’appelle la fonction \textbf{exponentielle}, notée $\exp : \mathbb{R} \rightarrow \: ]0,+\infty[ $.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}%[gray]
\fill [gray!30] (1.5,0) -- plot[domain=1.5:3](\x,{ln(\x)}) -- (3,0) -- cycle;
\draw [->,>=latex] (-4,0)--(7,0) node[below] {$x$};
\draw [->,>=latex] (0,-4)--(0,7) node[below left] {$y$};
\foreach \x in {-3,...,6}
\draw [thick](\x,.1)--(\x,-2pt) node[below]{\small\x};
\foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
\draw [thick](.1,\y)--(-2pt,\y) node[left]{\small\y};
\draw [dashed] (-2,-2) -- (e^1.8,e^1.8) node[near end,sloped,below] {$y=x$};
\draw [domain=-3.5:1.8,samples=200,very thick,blue] plot(\x,{exp(\x)}) node[above]{$\exp(x)$};
\draw [domain=0.03:6.3,samples=200,very thick,OrangeRed] plot(\x,{ln(\x)}) node[right]{$\ln(x)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{french}
\end{document}